Álgebra lineal Ejemplos

det $[\begin{array}{c} 5 & 3 & 5 \\ 1 & 7 & 8 \\ 9 & 4 & 2 \end{array}]$

Paso 1

Elige la fila o columna con más elementos $0$ . Si no hay elementos $0$ , elige cualquier fila o columna. Multiplica cada elemento en la fila $1$ por su cofactor y suma.

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Paso 1.1

Considera el cuadro de signos correspondiente.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Paso 1.2

El cofactor es el elemento menor con el signo cambiado si los índices coinciden con una posición $-$ en el cuadro de signos.

Paso 1.3

El elemento menor de $a_{11}$ es la determinante con la fila $1$ y la columna $1$ borradas.

$| \begin{array}{c} 7 & 8 \\ 4 & 2 \end{array} |$

Paso 1.4

Multiplica el elemento $a_{11}$ por su cofactor.

$5 | \begin{array}{c} 7 & 8 \\ 4 & 2 \end{array} |$

Paso 1.5

El elemento menor de $a_{12}$ es la determinante con la fila $1$ y la columna $2$ borradas.

$| \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 9 & 2 \end{array} |$

Paso 1.6

Multiplica el elemento $a_{12}$ por su cofactor.

$- 3 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 9 & 2 \end{array} |$

Paso 1.7

El elemento menor de $a_{13}$ es la determinante con la fila $1$ y la columna $3$ borradas.

$| \begin{array}{c} 1 & 7 \\ 9 & 4 \end{array} |$

Paso 1.8

Multiplica el elemento $a_{13}$ por su cofactor.

$5 | \begin{array}{c} 1 & 7 \\ 9 & 4 \end{array} |$

Paso 1.9

Suma los términos juntos.

$5 | \begin{array}{c} 7 & 8 \\ 4 & 2 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 9 & 2 \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 7 \\ 9 & 4 \end{array} |$

Paso 2

Evalúa $| \begin{array}{c} 7 & 8 \\ 4 & 2 \end{array} |$ .

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Paso 2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$5 (7 \cdot 2 - 4 \cdot 8) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 9 & 2 \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 7 \\ 9 & 4 \end{array} |$

Paso 2.2

Simplifica el determinante.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Multiplica $7$ por $2$ .

$5 (14 - 4 \cdot 8) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 9 & 2 \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 7 \\ 9 & 4 \end{array} |$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $- 4$ por $8$ .

$5 (14 - 32) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 9 & 2 \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 7 \\ 9 & 4 \end{array} |$

Paso 2.2.2

Resta $32$ de $14$ .

$5 \cdot - 18 - 3 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 9 & 2 \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 7 \\ 9 & 4 \end{array} |$

Paso 3

Evalúa $| \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 9 & 2 \end{array} |$ .

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Paso 3.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$5 \cdot - 18 - 3 (1 \cdot 2 - 9 \cdot 8) + 5 | \begin{array}{c} 1 & 7 \\ 9 & 4 \end{array} |$

Paso 3.2

Simplifica el determinante.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$5 \cdot - 18 - 3 (2 - 9 \cdot 8) + 5 | \begin{array}{c} 1 & 7 \\ 9 & 4 \end{array} |$

Paso 3.2.1.2

Multiplica $- 9$ por $8$ .

$5 \cdot - 18 - 3 (2 - 72) + 5 | \begin{array}{c} 1 & 7 \\ 9 & 4 \end{array} |$

Paso 3.2.2

Resta $72$ de $2$ .

$5 \cdot - 18 - 3 \cdot - 70 + 5 | \begin{array}{c} 1 & 7 \\ 9 & 4 \end{array} |$

Paso 4

Evalúa $| \begin{array}{c} 1 & 7 \\ 9 & 4 \end{array} |$ .

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Paso 4.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$5 \cdot - 18 - 3 \cdot - 70 + 5 (1 \cdot 4 - 9 \cdot 7)$

Paso 4.2

Simplifica el determinante.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Multiplica $4$ por $1$ .

$5 \cdot - 18 - 3 \cdot - 70 + 5 (4 - 9 \cdot 7)$

Paso 4.2.1.2

Multiplica $- 9$ por $7$ .

$5 \cdot - 18 - 3 \cdot - 70 + 5 (4 - 63)$

Paso 4.2.2

Resta $63$ de $4$ .

$5 \cdot - 18 - 3 \cdot - 70 + 5 \cdot - 59$

Paso 5

Simplifica el determinante.

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Paso 5.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.1

Multiplica $5$ por $- 18$ .

$- 90 - 3 \cdot - 70 + 5 \cdot - 59$

Paso 5.1.2

Multiplica $- 3$ por $- 70$ .

$- 90 + 210 + 5 \cdot - 59$

Paso 5.1.3

Multiplica $5$ por $- 59$ .

$- 90 + 210 - 295$

Paso 5.2

Suma $- 90$ y $210$ .

$120 - 295$

Paso 5.3

Resta $295$ de $120$ .

$- 175$